정말입니다, 종이를 45번 접으면 달에 도달할 수 있습니다

일반인들은 2배를 그리 대수롭지 않게 여긴다. 하지만 수학자들에겐 그 위력은 파괴력이 상당하다.

신문이 한 장 있다. 이를 계속해서 반으로 접어 두께를 2배로 만든다고 생각해보자. 45번 접은 두께는 지구에서 달까지 거리보다 더 길다고 한다. 믿기 어려운가.

한 때 인스티즈, 루리웹 등 각종 온라인 커뮤니티에는 '종이를 45번 접으면 달에도 닿는다'는 흥미로운 제목의 글이 올라와 화제를 모았다.

작성자는 일러스트 애니메이션을 시각적으로 활용해 종이를 접어 달에 도달하는 방법을 소개했다.

신문 종이(0.001cm)를 반으로 접으면 두께가 0.002cm가 된다. 이를 한 번 더 접으면 0.004cm이며, 접을 때마다 두께는 2배씩 두꺼워진다. 이렇게 종이를 10번 접으면 두께가 1.024cm으로 1cm를 조금 넘는다.

이런 방법으로 17번을 접으면 131cm, 25번을 접으면 2의 25승인 33,554cm가 된다. 이는 미국 뉴욕을 대표하는 랜드마크인 엠파이어스테이트 빌딩(443m)보다 약간 작다.

계속해서 종이를 30번 접으면 두께는 6.5마일로 비행기가 날 때의 평균 고도에 이른다. 만약 40번을 접으면 거의 7000마일이고 이는 GPS 행성 궤도의 일반적인 높이다.

더 나아가 종이를 45번 접으면 달 나라에 도달할 수 있는 거리다. 이를 한 번 더 접으면 지구로 다시 돌아올 수 있게 된다.

온라인 커뮤니티에 올라온 논리는 수리적으로 타당한 근거일까. 이광연 한서대 수학과 교수의 도움말로 이번에는 신문 종이보다 두꺼운 A4 용지(0.01cm)로 검증을 해보자.

A4 용지를 절반으로 접으면 그 종이의 넓이는 2분의 1이 된다. 그걸 또 한 번 접으면 넓이가 다시 반으로 줄어 처음 것의 4분의 1이 된다. 접을 때마다 두께는 2배가 된다.

실제로 해보면 A4 용지는 7번 정도 접을 수 있다고 한다. 이렇게 접으면 종이의 두께는 128배가 된다. 7번 접다보면 예쁜 사각형 모양을 유지하지 못한 채 찌그러진 뚱뚱한 모양이 된다.

A4 용지를 무한정 접을 수 있다고 가정해보자.

A4 용지를 20번 접는다면 그 높이는 무려 104.85m가 된다. 2를 20번 곱했기 때문인데, 서울 남산타워 높이가 236.7m니까 절반 정도가 되는 셈이다.

A4 용지를 42번 접는다면 종이 두께는 약 43만9804.7㎞로 지구에서 달까지의 거리인 38만3000㎞보다 5만㎞나 더 길다. 물론 실제론 이렇게 무한정 접을 수 없지만 2배의 위력을 잘 알 수 있다.

이는 수학의 지수함수적 증가를 활용한 사례다.

게시글을 접한 누리꾼들은 '놀랍다', '진짜 그렇게 되는건가', '문제집만 보다가 이런 거 보니까 수학이 재밌어 보인다' 등의 반응을 쏟아냈다.